Eliptik integraller ve uygulamaları

Abstract

integral hesapta eliptik integraller, bir elips yay uzunlugunun hesaplanması problemiyle ortaya çıkmıs ve ilk olarak Giulio Fagnano ve Leonhard Euler tarafından incelenmistir. Modern tanımıyla bir eliptik integral, R iki degiskenli rasyonel bir fonksiyon P üçüncü ya da dördüncü dereceden katlı kökü olmayan bir polinomun karekökü ve c bir sabit olmak üzere = x c f (x) R(t, P(t))dt biçiminde ifade edilebilen bir f fonksiyonudur. Genel olarak eliptik integraller elemanter fonksiyonlar cinsinden ifade edilemezler. Bu durumun istisnaları P polinomunun katlı kökünün olması ya da R(x,y) fonksiyonunun y degiskeninin tek kuvvetlerini içerdigi hallerdir. Buna karsın indirgeme formülleriyle her eliptik integral rasyonel fonksiyonların ve birinci, ikinci, üçüncü tür eliptik integraller olarak adlandırılan üç kanonik formun integralleri biçiminde ifade edilebilir. Bu formlar dısında eliptik integraller ?Legendre Formu? ve ?Carlson Simetrik Formu? adı verilen biçimlerde de ifade edilebilirler. Belirsiz integral hakkında detaylı bilgi ise Schwarz-Christoffel dönüsümü incelenerek elde edilebilir. Bu çalısmanın ilk bölümünde eliptik integrallerin tanımı ve sekilleri verilmistir. kinci bölüm ise eliptik integraller ve eliptik fonksiyonlar ile ilgili problemlerin çözümlerini içermekte olup üçüncü bölümde çift periyotlu fonksiyonlar ve bunların özellikleri incelenmistir. Son bölümde ise elipste yalınkat fonksiyonlarla ilgili bir çalısma yer almaktadır.

In integral calculus, elliptic integrals originally arose in connection with the problem of giving the arc length of an ellipse and were first studied by Giulio Fagnano and Leonhard Euler. In the modern definition, an elliptic integral is any function f which can be expressed in the form = x c f (x) R(t, P(t))dt where R is a rational function of its two arguments, P is the square root of a polynomial of degree 3 or 4 (a cubic or quartic) with no repeated roots, and c is a constant. In general, elliptic integrals cannot be expressed in terms of elementary functions; exceptions to this are when P does have repeated roots, or when R(x,y) contains no odd powers of y. However, with appropriate reduction formula, every elliptic integral can be brought into a form that involves integrals over rational functions, and the three canonical forms (i.e. the elliptic integrals of the first, second and third kind). Besides the forms given below, the elliptic integrals may also be expressed in Legendre form and Carlson symmetric form. Additional insight into the theory of the indefinite integral may be gained through the study of the Schwarz-Christoffel mapping. The first part of this work contains of the definitions and form of elliptic integrals. The second part contains the solutions of problems on elliptic integrals and the third part includes doubly-periodic functions and their properties. The last part of the present work is devoted to a study on univalent on univalent functions in the ellipse.