Hamurcu ve Arnold 'un Kedisi Transformasyonlarında Karşılaşılan Paradoksal Bulguların İncelenmesi

Abstract

Hamurcu transformasyonu diye bilinen ve uzat, kes ve katla algoritmesinin tipik bir örneği olan iteratf dönüşüm acayip çekicili klasik bir kaotik modeldir. Kaotik karakter yörünge boyunca 8-10 kademelik bir iterasyonda gerek hesapla ve gerekse geomatrik çizim ile rahatlıkla doğrulanmaktadır. Ancak bilgisayar marifeti ile 30 -40 kademeli bir iterasyonda elde edilen yörüngeler başlangıç noktası ne olursa olsun kaotik olmak bir yana sabit noktaya gitmektedir. Bu paradoksal durumun nedenleri X ekseni üzerindeki izdüşüme karşı gelen Bernoulli kaydırması dönüşümü incelenerek açıklanmıştır. Kuveetli bir karşılaştırma özelliğine sahip olan Arnold’un kedisi dönüşümünde de benzer durumlar vardır. Dijitalleştirilmiş bir resmin iterasyon unda 30. İla 40. Kademeye kadar kaotik karakter bozulmadığı halde piksel sayısına bağlı olarak belirli bir eterasyon kademesinde resmin orjinal haline geri döndüğü bilinmektedir. Bu çalışmada bazı koşullarda resmin 180 derece dönerek tepetakla olduğu gösterilmiş ve dönüş şartları etüt edilmiştir. Ayrıca Ters – Yüz Kedi dönüşümü adını verdiğimiz alternatif bir dönüşüm incelenmiştirDeterministlik kaosun tipik bir örneği olan Bernoulli kaydırması’nın genelleştirilmesi ile yaratılan zaman dizileri, algoritmek rasgelelik tanımına tam ters düşmesine karşın, üniform olasılık dağılımlı rasgele sayı üreticisi olarak kullanılması diğer paradoksal bir sayılır.

Bakers’ map in one of the stretch, cut and fold procedure examples which represent a typical chaotic model with strange attractor. The Chaotic hehavior associated with exponential divergence of nearby trajectories can clearly be confirmed up to about 8 – 10 steps of iteration. On the other and computer appication exceeding 30-40 iterations exhibits completely different character that is no matter where behavior is explained by stuying X component of the map viz. Bernoulli shift.

In this respect Arnolds’ cat map is another example which deserves attention. In contrast to its strong mixing character, in digitalized form a Picture after mixing thoroughly fort he first 30th to 40th step in reapers in the orginal form and complete recurrence is abserved. It is shown that depending on pixel numbers used, the Picture may topple in halp period. An alternative cat map which we coined the name reversed cat map is also studied. It is interesting to see that a generalized form of the Bernoulli shift map can be used to obtain random time series which may be instrumental for Random number generators having uniform probability distribution.