Generalization of harmonic univalent convex functions

Abstract

Kuantum kalkülüsün harmonik yalınkat fonksiyonlarda uygulamaları oldukça yenidir. Bu çalışmada, q-türev operatörü kullanılarak tanımlanan q-harmonik yalınkat fonksiyonların bazı alt sınıflarının incelenmesine odaklanılmıştır. Bu amaç için, harmonik fonksiyonların bazı temel terimlerini q-harmonik fonksiyonlara genelleştirmek gerekmektedir. İkinci bölümde, Jakobiyen ve ikinci dilatasyon q-harmonik fonksiyonlara genelleştirilmiştir. Bu yeni terimlerin ışığında, analitik kısmı komplex mertebeden q-konveks fonksiyon olan q-harmonik dönüşümlerin S_(HC_q)(b) sınıfı tanımlanmıştır. Ayrıca q-Jack Lemma da ispatlanmıştır. Subordinasyon tekniği ve q-Jack Lemma kullanılarak, bu sınıfa ait fonksiyonların distorsiyon sınırları elde edilmiştir. Üçüncü bölümde, komplex mertebeden α tipinde q-harmonik yalınkat konveks fonksiyonların C_(H_q )(b,α) sınıfı tanımlanmıştır, ve bu sınıfa ait fonksiyonların katsayı tahminleri ve yalınkatlık kriteri incelenmiştir. Katsayı tahminlerinden yararlanarak, bu sınıfa ait fonksiyonların kısmi toplamları, distorsiyon sınırları, kapsama teoremi ve konvolüsyon koşulları elde edilmiştir.

Applications of quantum calculus in harmonic univalent functions are quite new. In the present work, it is focused on investigating several subclasses of q-harmonic univalent functions defined by q-difference operator. For this purpose, it is necessary to extend some basic terms of the harmonic functions to the q-harmonic functions. In second chapter, the Jacobian and the second dilatation are extended for q-harmonic functions. In the light of these new terms, the class S_(HC_q)(b) of q-harmonic mappings for which analytic part is q-convex functions of complex order is introduced. Also, the q-Jack's Lemma is proved. By using subordination technique and the q-Jack's Lemma, distortion bounds of the functions in this class are obtained. In third chapter, the class C_(H_q )(b,α) of q-harmonic univalent convex functions of complex order and type α is introduced, and coefficient estimates and univalence criteria of the functions in this class are investigated. Making use of these coefficient estimates, partial sums, distortion bounds, covering theorem and convolution conditions of the functions in this class are obtained