T.C. İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ LİSANSÜSTÜ EĞİTİM ENSTİTÜSÜ İKİ EŞ MERKEZLİ KÜRE ARASINDA RADYASYON TRANSFERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Amjad Fawaz Mohammad AlAhmad 1900006262 Anabilim Dalı: Fizik Program: Fizik Tez Danışmanı: Prof. Dr. Sevim AKYÜZ HAZİRAN 2023 T.C. İSTANBUL KÜLTÜR ÜNİVERSİTESİ LİSANSÜSTÜ EĞİTİM ENSTİTÜSÜ İKİ EŞ MERKEZLİ KÜRE ARASINDA RADYASYON TRANSFERİ YÜKSEK LİSANS TEZİ Amjad Fawaz Mohammad AlAhmad 1900006262 Anabilim Dalı: Fizik Program: Fizik Tez Danışmanı: Prof. Dr. Sevim AKYÜZ Jüri Üyeleri: Prof. Dr. Ayşen ÖZEL Doç. Dr. Sefa ÇELİK HAZİRAN 2023 i ÖNSÖZ Bu tez çalışmamı yapmama olanak sağlayan, danışman hocam Prof.Dr.Sevim Akyüz’ e teşekkür ederim. Çalışmam sürecinde her türlü yol gösterici olan, olumlu tavrıyla beni cesaretlendiren, bilgi birikimiyle çalışmama farklı açılardan bakmamı sağlayan beraber çalışmaktan ve her zaman öğrencisi olmaktan gurur duyduğum değerli hocam Dr.NASİM ALSHWAKFA teşekkürlerimi sunarım. Ayrıca bu çalışmayı yapmama ilhan olan ve mensubu olmaktan mutluluk ve gurur duyduğum BİLİMSEL ARAŞTIRMALAR İÇİN ÜRDÜN FİZİKSEL TOPLULUĞU, çalışmamda bana destek olan tüm bilgi ve birikimlerini benimle paylaşan De. Mohammad Abulwafave, prof.Dr.Emad alhaik hocalarıma ayrıca teşekkür ederim Son olarak tüm hayatım boyunca benim yanımda olan, aldığım kararları her zaman destekleyen, sadece bu çalışma sürecinde değil tüm hayatım boyunca beni cesaretlendiren ve moral veren rahmetli annem, babam JAMİLA ABDULKADİR, FAWAZ AL-ALAHMAD ve BÜTÜN kardeşerime, Bu araştırmadaki başarı ve ilerlememin sebebi olan sevgili eşimi SERVİNOZ MİRZAKH OLİKOVA sonsuz şükranlarımı sunar ve teşekkür ederim ii İÇİNDEKİLER ÖNSÖZ ----------------------------------------------------------------------------------------------- İÇİNDEKİLER ------------------------------------------------------------------------------------- ŞEKILLER LISTESI ------------------------------------------------------------------------------ TAPLOLAR LISTESI ----------------------------------------------------------------------------- SEMBOLLER LISES ------------------------------------------------------------------------------ ÖZET -------------------------------------------------------------------------------------------------- ABSTRACT ------------------------------------------------------------------------------------------ Giriş --------------------------------------------------------------------------------------------------- 1. Radyasyon Transfer Denklemi --------------------------------------------------------- 1. Klasik radyasyon transfer denklemi ------------------------------------- 2. Kartezyen koordinat sistemi formülasyonu ---------------------------- 3. Küresel koordinat sistemi formülasyonu -------------------------------- 1.3.1. Silindirik koordinat sistemi formülasyonu --------------------- 1.3.2. Küresel koordinat sistemi formülasyonu ----------------------- 2. RTE Denklemini küresel koordinat sistem basitleştirme -------------------------- 2.1. Küresel koordinat sisteminde RTE'nin sınır koşulu ----------------- 2.2. Fark Şeması ------------------------------------------------------------------ 2.3. Moment yönteminde RTE ------------------------------------------------ 3. Radyasyon ısı akışı ------------------------------------------------------------------------ 4. RTE'nin sayısal özellikleri --------------------------------------------------------------- 5. Sayısal hatalar ve doğruluk geliştirme stratejileri ---------------------------------- 5.1. DOM'daki sayısal hataları ------------------------------------------------ 5.2. Fark şemasından kaynaklanan hata ----------------------------------- 5.3. Isı akısı hesaplamasında hata -------------------------------------------- 6. Sonuç ----------------------------------------------------------------------------------------- 7. Kaynaklar ----------------------------------------------------------------------------------- I II III IV V VI VII 1 1 3 3 5 7 7 10 11 12 15 18 19 30 30 31 33 36 37 iii ŞEKİLLER LİSTESİ Şekil (1) Ortamda taşıma şeması 4 Şekil (2) RTE'yi formüle etmek için tanımlanan değişkenli kartezyen system 5 Şekil (3) RTE Silindirik koordinat sistemi için 7 Şekil (4) Küresel koordinat sisteminin tanımı 8 Şekil (5) Küre geometrisi ve gösterimler 10 Şekil (6) Fark şeması 13 Şekil (7) τ2 optik kalınlığının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 26 Şekil (8) R1/R2 oranının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve τ2=2,0 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 27 Şekil (9) Θ2 sınır sıcaklığının ε1=ε2=1, τ2=2 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışıma akısı üzerindeki etkisi 28 Şekil (10) Şekil θ2=0,5, τ2=1 ve R1/R2=0,5 ile yüzey emisyonunun boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 29 Şekil (11) Sayısal difüzyon ve ışın etkilerini göstermek için alt duvar boyunca gelen ısı akışı 𝑁𝜃 = 𝑁𝜑 32 Şekil (12) Sayısal difüzyon ve ışın etkilerini göstermek için alt duvar boyunca gelen ısı akışı 33 Şekil (13) Etkilerini gösteren şemalar, sınır sınırlı yük 34 Şekil (14) Işın etkilerini gösteren şemalar. iç (hacimsel) sınırlı yük 35 iv TABLOLAR LISTESI Taplo(1) Çeşitli 𝜀1, 𝜀2 kombinasyonları için rq(r) değerleri (𝑟1 ∗ = 0.5, 𝛩2 = 0.5, 𝜏2 = 1) 20 Taplo(2) İç yüzeydeki net ışınımsal ısı akısı izotropik olay ve 𝜔=1 21 Taplo(3) τ2 optik kalınlığının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 22 Taplo(4) R1/R2 oranının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve τ2=2,0 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 23 Taplo(5) Θ2 sınır sıcaklığının ε1=ε2=1, τ2=2 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışıma akısı üzerindeki etkisi 24 Taplo(6) Şekil θ2=0,5, τ2=1 ve R1/R2=0,5 ile yüzey emisyonunun boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 25 v SEMBOLLER LİSTESİ 𝝀: Dalga boyu r: radyal değişkendir 𝜴: ışınım yoğunluğu 𝐼𝜆: 𝑅𝑎𝑑𝑦𝑎𝑠𝑦𝑜𝑛 𝑦𝑜ğ𝑢𝑛𝑙𝑢ğ𝑢𝑛 𝜏: Kalınlık 𝝝1: Iç sıcaklık 𝑆𝑁: Termal emisyon ve saçılmayı açıklayan kaynak terimdir. 𝝝2: Dış sıcaklık 𝞰,𝞷,µ: kirişin yerel yön vektörüdür 𝜎′: Boltzmanin sabiti 𝜵: Gradyan operatörüdür r2q*(r): Boyutsuz ışınım akısı Sr,z,𝜳: Birim koordinat vektörleridir χ σ ve β: sırasıyla absorpsiyon, saçılma ve sönüm katsayılarıdır 𝜀: Emisyon q(r): ışınımsal ısı akısı T(r): Sicaklik K: Moment order 𝛼: açısal yoğunluklar 𝜔: açısal yoğunluklar vi ÖZET Radyasyon transfer denklemi (RTT), gazlarda, yarı Geçirgenlerde ve katılarda, gözenekli malzemelerde ve parçacıklı ortamlarda radyasyon transferinin analizinde merkezi Birçok bilimde rol oynayan ve mühendislik alanında önemli olan, katılımcı ortamdaki radyasyon yayılımının yönetici denklemidir. Farklı koordinat sistemleri altındaki RTE, sayısal olarak daha kararlı olan dönüştürülmüş RTE, kırılma ortamı için RTE vb. de dahil olmak üzere farklı uygulamalar için uygun farklı RTE biçimleri vardır. Bu çalışmada, küresel ortamdaki radyasyon problemlerini çözerken ayrık koordinatlar yönteminin performansını iyileştirmek için geliştirilmiş bir moment tekniği sunulmaktadır. Bu yaklaşımda, ayrıklaştırılmış 1-D ışınım transfer denkleminin açısal türev terimi, açısal momentler bazında ışınım yoğunluğunun genişlemesinden türetilir. Moment yöntemiyle ilişkili ayrık koordinatlar Sn yönteminin uygulanmasıyla elde edilen sonuçtaki diferansiyel denklemler seti, sonlu farklar algoritması ile sınır değer problemi kullanılarak sayısal olarak çözülür. Farklı bağımsız parametreler için sonuçlar sunulmuştur. Moment yaklaşımı kullanılarak elde edilen sayısal sonuçlar, kıyaslama yaklaşık çözümleri ile iyi bir şekilde karşılaştırılır. Ayrıca, yeni teknik daha yüksek dereceli Sn hesaplamalarına kolayca uygulanabilir. vii Abstract Radiative transfer equation (RTE) is the governing equation of radiation propagation in participating media, which plays a central role in the analysis of radiative transfer in gases, semitransparent liquids and solids, porous materials and particulate media, and is important in many scientific and engineering disciplines. There are different forms of RTES that are suitable for different applications, including the RTE under different coordinates systems, the transformed RTE being numerically more stable, the RTE for refractive media, etc. İn this work presented to improve the performance of the discrete ordinates method when solving the radiation problems in spherical media. In this approach the angular derivative term of the discretized 1-D radiative transfer equation is derived from an expansion of the radiative intensity on the basis of angular moments. The set of resulting differential equations, obtained by the application of the discrete ordinates method Sn method associated to moment method, is numerically solved using the boundary value problem with the finite difference algorithm. Results are presented for the different independent parameters. Numerical results obtained using the moment approximation compare well with the benchmark approximate solutions. Moreover, the new technique can easily be applied to higher-order Sn calculations 1 Giriş Radyasyon transferi, Pratik mühendislik problemlerinde, katılımcı medyada ışınım aktarımı gibi birçok uygulamada (yanıcı sistemler, fırınlar ve reaktör nükleer teorisi) karşımıza çıkmaktadır. Bu sistemlerin tümü genellikle küresel sistemler olarak kabul edilebilir. Bu nedenle, aşağıdakileri içeren geometri için gibi olaylarda ışınımsal transfer denklemini çözebilmek için güvenilir bir modele sahip olmalısınız; Ortalama absorpsiyon, emisyon ve saçılma Bu tür ortamlarda ışınımsal transfer denkleminin çözülmesi ile ilgilenen çalışmaların bazıları yapılmıştır. Bu çalışmalar çeşitli sayısal teknikleri (integral transformation techniques) içeriyordu [Pomraning,Siewert ,1982 ; Siewert, Thomas, 1991], spherical harmonics method [Hsin-sen Chu, Weng Ling-Chia, Tsen, 1991], Galerkin method [Jia, Yener, Cipolla, 1991] [Abulwafa , 1993] diğerleri; [viskanta, Grosbie, 1976] [Thynell, 1989]. Ayrık ordinatlar yöntemi, küresel ortamda ışınımsal transfer denkleminin çözümünde de kullanılmıştır [Tsai, Ozisik, 1989] Bu yöntem, doğruluğu ve diğer tekniklerle uyumluluğu nedeniyle büyük popülerliğe sahiptir;l [Sghaier, Sifaoui , 2000 ; Trabelsi, Sghaier, 2005] son zamanlarda [ Aouled-Dlala, T, 2007] ayrık tek boyutlu ışınımlı transfer Kullandı, denkleminin açısal türev tabirini işlemek için sonlu chebyshev dönüşümünü kullandı. [Kim, Cho, Baek, 2008] İki eşmerkezli küre arasındaki ışınımsal ısı transferini araştırmak için birleşik sonlu hacim ve ayrık ordinatlar yöntemini kullandı [Li, v.d, 2009] eşmerkezli küresel bir ortamda birleştirilmiş radyasyon ve iletim için bir Chebyshev kollokasyon spektral yöntemi geliştirdi son zamanlarda, [Mishra, v.d. , 2010] iletim olsun veya olmasın küresel bir ortamda ışınım taşınımını incelemek için bir kafes Boltzmann ve modifiye edilmiş ayrık ordinatlar yöntemi kullandı. Ayrık ordinatlar yöntemini uygulamak için, küresel koordinatlarda ışınımsal transfer denkleminde görünen açısal türev terimine yaklaşmak gerekir. Bu terime genellikle klasik bir sonlu fark şemasıyla yaklaşılır [Modest, 2003] Bu çalışmada, bir açısal 2 moment tekniği kullanarak açısal türev terimini değerlendirmek için yeni bir yaklaşım sunuyoruz. Bu, ayrık açısal türev teriminin yarı analitik bir ifadesini verir. Radyasyon yoğunluğunun elde edilen daha yüksek momentleri, rastlanan radyasyon, net ışınımsal ısı akışı ve genelleştirilmiş "Eddington" yaklaşımı kullanılarak radyasyon basıncı cinsinden ifade edilir. Ondan dolayı, bu tür ortamlardaki radyasyon transferini incelemek için ayrık koordinatlar yöntemini benimsiyoruz. Bu tez kapsamında yapılan çalışmada, ele alınan ortam içi boş bir küredir. Sınırlar, farklı ancak tekdüze sıcaklıklarda tutulan ve opak, gri dağınık olarak yayılan ve dağınık olarak yansıtan olarak kabul edilen bir küredir. Elde edilen sonuçlar, standart ayrık koordinatlar yöntemiyle verilenlerle ve literatürde bulunanlarla karşılaştırılmıştır. Matematiksel formülasyon gri ortam için verilmiştir, ancak herhangi bir absorpsiyon katsayısına dayalı gri olmayan modele genişletilmesi basitce mümkündür. 3 1. Radyasyon Transfer Denklemi Bu bölümde, klasik de dahil olmak üzere ışınımsal transferin denklemleri ışınım transfer denklemi, kırılma ortamlarında ışınım transfer denklemi ve ışınımsal transfer denklemlerinin farklı varyant biçimleri tanıtılmaktadır. 1.1. Klasik radyasyon transfer denklemi Radyatif transferin klasik denklemi, tekdüze kırılma indisi dağılımına sahip soğurma, yayma ve saçılma ortamlarında radyasyon enerjisi taşınmasının dengesini tanımlar. Genel olarak, ortamdaki bir ışık huzmesinin ışınım gücü, dalga boyunun λ , aktarım yönünün ve ışınım yoğunluğunun Ω fiziksel miktarı kullanılarak tanımlanan uzamsal konumun r bir fonksiyonudur. Dalga boyu başına ve katı açı başına birim kesit alanı başına aktarılan ışınımsal gücü ifade eder. RTE, radyasyon yoğunluğunun 𝑰𝝀 yönetici bir denklemidir. Aşağıda, farklı koordinat sistemindeki RTE, enerji ilişkileri ve RTE'nin sayısal özellikleri sunulmaktadır. Işığın foton tanımı, RTE'nin fenomenolojik türetilmesi için yaygın olarak uygulandığı için bölüm boyunca kullanılmıştır. Işığın gerçekten de elektromanyetik dalga olduğu ve ışınımsal aktarımın titiz tanımının Maxwell denklemlerine dayanması gerektiği belirtilmelidir. 4 Şekil (1): Ortamda taşıma şeması Işınım transfer denkleminin (RET) kısaca denklemi, tüm koordinatlar (küresel, silindirik ve kartezyen) için şu şekilde yazılır: 𝛀.𝛁 + 𝛃𝐈 = 𝐒𝐧 … (1) Sağ taraf (Attenuation; Zayıflama) ve soldaki (Augmentation; Büyüme); ve 𝑆𝑛 termal emisyon ve saçılmayı açıklayan kaynak terimdir. 𝑺𝒏 = 𝝌 𝑰𝒃 + 𝝈 𝟐 ∫ 𝑷𝒎𝒎∗ 𝟏 −𝟏 𝑰(𝑹, µ)𝒅µ ; Ω. ∇ +s-ekseni anlatir 5 1.2. Kartezyen koordinat sistemi formülasyonu Kartezyen koordinat sisteminde Şekil (2) ışınım yoğunluğu 𝑰𝒎(𝒔(𝒙, 𝒚, 𝒛), 𝜴) şu şekilde ifade edilir: 𝒅𝑰 𝒅𝒔 = 𝒅𝒙 𝒅𝒔 𝝏𝑰 𝝏𝒙 + 𝒅𝒚 𝒅𝒔 𝝏𝑰 𝝏𝒚 + 𝒅𝒛 𝒅𝒔 𝝏𝑰 𝝏𝒛 …. (2) Şekil (2) RTE'yi formüle etmek için tanımlanan değişkenli kartezyen sistem. Düşünen ds bir eğri boyunca yay uzunluğu olarak, koordinat dönüşüm katsayıları 𝒅𝒙 𝒅𝒔 , 𝒅𝒚 𝒅𝒔 , 𝒅𝒛 𝒅𝒔 taşıma yönünün yön kosinüsleridir 𝜇𝒊 + 𝞰𝒋 + 𝞷𝒌 , Denklem 2 aşağıdaki biçimde yazılabiliriz 𝒅𝑰 𝒅𝒔 = µ 𝝏𝑰 𝝏𝒙 + 𝞰 𝝏𝑰 𝝏𝒚 + 𝞷 𝝏𝑰 𝝏𝒛 = 𝜴. 𝜵𝑰 …. (3) 6 Kartezyen koordinat sistemindeki RTE şu şekilde yazılabilir: 𝜴⦁𝜵𝑰𝝀(𝒓, 𝜴) + 𝜷𝑰𝝀(𝒓, 𝜴) = 𝝌𝑰𝝀 [𝑻(𝒓)] + 𝝈 𝟒𝝅 ∫ 𝑰𝝀 (𝒓,𝜴) 𝒅𝜴 … (4) r radyal değişkendir, µ radyasyon yoğunluğunun I (r , 𝜴 ) yönü s ile pozitif r ekseni arasındaki açının kosinüsüdür. r = xi + yj + zk , uzaysal konum vektörüdür. Simetrisi nedeniyle, I(r, 𝜴) =I(r,Ώ) , Ώ = [µ, 𝜼, −𝝃] Kartezyen koordinat sistemindeki RTE şu şekilde yazılabilir: µ 𝝏𝑰𝝀 𝝏𝒙 + 𝜼 𝝏𝑰𝝀 𝝏𝒚 + 𝜷𝑰𝝀(𝒓, 𝜴) = 𝝌𝑰𝝀 [𝑻(𝒓)] + 𝝈 𝟒𝝅 ∫ 𝑰𝝀 (𝒓,𝜴) 𝒅𝜴 ….. (5) katı açısal uzayın yalnızca yarısından fazla olan açısal kareleme 𝜃 ∈ [0, 𝜋 2 ] 7 1.3. Diğer koordinat sistemlerinde RTE Kartezyen koordinat sisteminin yanı sıra, silindirik ve küresel koordinat sistemi de yaygın olarak kullanılan diğer iki koordinat sistemidir. Burada bu koordinat sistemlerindeki RTE sunulmaktadır. 1.3.1. Silindirik koordinat sistemi formülasyonu Silindirik koordinat sistemi [Şekil (3)] için akış operatörü şu şekilde yazılabilir: Şekil (3) RTE Silindirik koordinat sistemi 𝒅 𝒅𝒔 = 𝒅𝒓 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝒓 + 𝒅𝜳 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝜳 + 𝒅𝒛 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝒛 + 𝒅𝜽 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝜽 + 𝒅𝝋 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝝋 = 𝜴⦁𝜵 − 𝜼 𝒓 𝝏 𝝏𝝋 …. (6) Nerde, 𝜴 = 𝝁𝒔𝒓 + 𝞰𝒔𝜳 + 𝞷𝒔𝒛 kirişin yerel yön vektörüdür, 𝝁 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐜𝐨𝐬𝝋, 𝞰 = 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝐬𝐢𝐧𝝋, 𝞷= 𝐜𝐨𝐬𝜽, 𝒔𝒓 , 𝒔𝜳 , 𝒔𝒛 birim koordinat vektörleridir, 𝜵=𝑠𝑟 𝜕 𝜕𝑟 + 𝑠𝛹 𝜕 𝜕𝛹 + 𝑠𝑧 𝜕 𝜕𝑧 Gradyan operatörüdür 8 Dolayısıyla silindirik koordinat sistemindeki RTE yazılabilir; 𝜴⦁𝜵I - 𝜼 𝒓 𝝏𝑰 𝝏𝝋 + 𝜷𝑰 = 𝞳 𝑰𝝀 + 𝜿 𝟒𝝅 ∫ 𝑰𝝀 (𝒓, 𝝁) 𝝁 𝒅𝝁 … (6.1) 1.3.2 Küresel koordinat sistemi formülasyonu Küresel koordinat sisteminde (𝜽,𝜳, 𝒓, 𝝋, 𝝑) Şekil 4'te tanımlanmıştır Şekil (4) Küresel koordinat sisteminin tanımı 𝒅𝑰 𝒅𝒔 = 𝒅𝝑 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝝑 + 𝒅𝜳 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝜳 + 𝒅𝒓 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝒓 + 𝒅𝜽 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝜽 + 𝒅𝝋 𝒅𝒔 𝝏 𝝏𝝋 = 𝜴⦁𝜵 - 𝐬𝐢𝐧𝜽 𝒓 𝝏 𝝏𝜽 − 𝜼𝐜𝐨𝐭 𝝑 𝒓 𝝏 𝝏𝝋 …. (7) Nerde, 𝜴 = 𝝁𝒔𝝑 + 𝞰𝒔𝜳 + 𝞷𝒔𝒓 kirişin yerel yön vektörüdür 𝒔𝒓 , 𝒔𝜳 , 𝒔𝒛 birim koordinat vektörleridir, 𝜵=𝒔𝝑𝒓−𝟏 𝝏 𝝏𝝑 + 𝒔𝜳𝒓 𝐬𝐢𝐧𝝑−𝟏 𝝏 𝝏𝜳 + 𝒔𝒓 𝝏 𝝏𝒓 Gradyan operatörüdür Küresel koordinat sistemindeki RTE, konservatif olmayan formda şu şekilde elde edilebilir: 9 𝜴⦁𝜵I - 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝒓 𝝏𝑰 𝝏𝜽 - 𝜼 𝐜𝐨𝐭 𝝑 𝒓 𝝏𝑰 𝝏𝝋 + 𝜷𝑰 = 𝞳 𝑰𝝀 + 𝞳 𝟒𝝅 ∫ 𝑰𝝀 (𝒓, 𝝁) 𝝁 𝒅𝝁 …. (8) Ve konservatif formda 𝜴⦁⍢𝑰𝝀 - 𝟏 𝒓 𝐬𝐢𝐧 𝜽 𝝏(𝟏−𝝁𝟐)𝑰𝝀 𝝏𝜽 - 𝐜𝐨𝐭 𝝑 𝒓 𝝏𝜼𝑰𝝀 𝝏𝝋 + 𝜷𝑰𝝀 = χ 𝑰𝝀 + 𝝈 𝟒𝝅 ∫ 𝑰𝝀 (𝒓, 𝝁) 𝝁 𝒅𝝁 …. (9) Burada; ⍢ = 𝒔𝝑(𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝝑)−𝟏 𝝏𝐬𝐢𝐧 𝝑 𝝏𝝑 + 𝒔𝜳 (𝒓 𝒔𝒊𝒏 𝝑)−𝟏 𝝏 𝝏𝜳 + 𝒔𝒓𝒓 −𝟐 𝝏(𝒓𝟐) 𝝏𝒓 Değiştirilmiş bir gradyan operatörüdür. Küresel koordinat sistemindeki RTE denklem son olarak şu şekilde yazılabilir µ 𝒓𝟐 𝒅 𝒅𝒓 [𝒓𝟐𝑰(𝒓, µ)] + 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅µ [(𝟏 − µ𝟐)] + ΒI(r,µ) = χ 𝑰𝒃 [𝑻(𝒓)] + 𝝈 𝟐 ∫ 𝑰(𝒓, µ) dµ …. (10) 10 2. RTE Denklemini küresel koordinat sistemde basitleştirme Absorpsiyon, emisyon ve saçılma yeteneğine sahip küresel bir zarf boyunca ışınımsal aktarım denklemi şu şekildedir (Bkn Şekil (5)): µ 𝒓𝟐 𝒅 𝒅𝒓 [𝒓𝟐𝑰(𝒓, µ)] + 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅µ [(𝟏 − µ𝟐)] + ΒI(r,µ) = χ 𝑰𝒃 [𝑻(𝒓)] + 𝝈 𝟐 ∫ 𝑰(𝒓, µ) 𝟏 −𝟏 dµ …. (11) Şekil (5):küre geometrisi ve gösterimler 11 2.1. Küresel koordinat sisteminde RTE'nin sınır koşulu Sınır duvarlarındaki içeri akış ışıma yoğunluğu, RTE'nin çözümünden önce ayarlanmalıdır. Genel olarak konuşursak, sınır duvarlarında yayılan ışıma yoğunluğuna üç süreç, yani emisyon, yansıma ve iletim katkıda bulunur. Yayılan yayan ve yansıtan opak bir duvar için sınır koşulu şu şekilde yazılabilir: I(𝑅1,µ) = 𝜀1 𝐼𝑏,1 + 2 (1 − 𝜀1 ) ∫ 𝐼(𝑅1 1 0 , −µ∗) |µ∗| 𝑑µ∗ ; µ > 0 … (12a) I(𝑅2,µ) = 𝜀2 𝐼𝑏,1 + 2 (1 − 𝜀2 ) ∫ 𝐼(𝑅2 1 0 , −µ∗) |µ∗| 𝑑µ∗ ; µ < 0 … (12b) 21 Denklem(11), (12a) ve (12b)de r radyal değişkendir, µ radyasyon yoğunluğunun I (r , µ ) yönü s ile pozitif r ekseni arasındaki açının kosinüsüdür. χ σ ve β sırasıyla absorpsiyon, saçılma ve sönüm katsayılarıdır ve bunlar şu şekilde ilişkilidir: Β = χ + σ … (13) Kara cisim radyasyonu sıcaklıkla ilişkilidir T(r) 𝐈𝐛 = 𝐧𝟐𝛔𝐓𝟒(𝐫) 𝛑 … (14) Burada n kırılma indisini ve σ Stefan Boltzmann sabitini gösterir. Eşitlik 12a ve 12b de ε, opak sınırların izotropik yayıcılığıdır. 1 ve 2 alt simgeleri 1'deki sınırları ifade eder. 12 2.2. Fark Şeması Radyasyon transfer denkleminin ayrık formu, Denklem(2)'i ayrık yönlerin her birinde değerlendirerek ve integrali sayısal kareleme ile değiştirerek elde edilir. µ 𝒓𝟐 𝒅 𝒅𝒓 [ 𝒓𝟐𝑰(𝒓, µ)] + 𝟏 𝒓 𝒅 𝒅µ [(𝟏 − µ𝟐) 𝑰(𝒓, µ)] + 𝛃𝐈(𝐫, µ) = 𝔁𝑰𝒃[𝑻(𝒓)] 𝝈 𝟐 ∑ 𝒘𝒎𝑰𝒎 𝑴 𝟏 … (15) Sınır koşullarının ayrık ordinat gösterimi; Im(R1) = ε1Ib1 + 2 (1-ε1) ∑ 𝒘𝒎` 𝑴 𝟏 𝑰𝒎`|µ|𝒎` ; µ > 0 (16a) Im(R2) = ε2Ib2 + 2 (1-ε2)∑ 𝒘𝒎` 𝑴 𝟏 𝑰𝒎` µ𝒎` ; µ < 0 (16b) burada m ve m' alt simgeleri ayrı yönlere atıfta bulunur, 𝒅 𝒅µ [(𝟏 − µ𝟑)𝑰] ≈ 𝜶 𝒎+𝟏 𝟐⁄ 𝑰 𝒎+𝟏 𝟐⁄ − 𝜶 𝒎−𝟏 𝟐⁄ 𝑰 𝒎−𝟏 𝟐⁄ 𝑾𝒎 ; µ=µ𝒎 … (17) 𝐈𝐦+𝟏 𝟐⁄ , 𝐈𝐦−𝟏 𝟐⁄ yönlerdeki açısal yoğunluklar ∝𝐦−𝟏 𝟐⁄ ∝𝐦+𝟏 𝟐⁄ sabitleri yalnızca fark alma şemasına bağlıdır ve bu nedenle bunlar, Modest tarafından açıklandığı gibi bir izotropik yoğunluk alanı durumu incelenerek belirlenebilir [Modest, 2003]. 13 Şekil (6) Fark şeması 14 Kavisli geometriler söz konusu olduğunda, fark alma şeması iki açısal değişken sunar; 𝐈𝐦+𝟏 𝟐⁄ , 𝐈𝐦−𝟏 𝟐⁄ . Her boşluk pozisyonunda belirlenmelidirler r. Bu amaçla, 𝐈𝐦+𝟏 𝟐⁄ , 𝐈𝐦−𝟏 𝟐⁄ ilişkilendirmek için “Standart elmas fark yaklaşımı” kullanılır, yani 𝑰𝒎 = 𝟏 𝟐 [ 𝐈𝐦+𝟏 𝟐⁄ + 𝐈𝐦−𝟏 𝟐⁄ ] … (18) Ortalama açısal yoğunluğun 𝐼𝑚 hesaplanmasında başlangıç yoğunluğuna 𝐼1 2⁄ ihtiyacımız var. Küresel geometri için, başlangıç yönü kosinüsü ile transfer denkleminin çözümünden elde edilir ; µ =1, aşağıda açısal moment eşitliğine dayanan alternatif bir teknik geliştiriyoruz. Her iki yaklaşımın sonuçları karşılaştırılacaktir. 15 2.2. Moment yönteminde RTE Açısal türev terimine yaklaşmak için yeni bir yaklaşım geliştiriyoruz D(r,µ) = 𝐝 𝐝µ [(𝟏 − µ𝟐) 𝐈(𝐫, µ)] … (19) D(r,µ)'nin k dereceli momentini tanımlayarak başlıyoruz. Dk(r)= ∫ 𝐃(𝐫, 𝟏 −𝟏 µ)µ𝐤𝐝µ … (20) Açısal moment tekniğinin, D (r , µ ) ile gösterilen açısal türev terimine uygulanması ∫ 𝐃(𝐫, 𝟏 −𝟏 µ)µ𝐤𝐝µ = k ∫ 𝐈(𝐫, 𝟏 −𝟏 µ)µ𝐤+𝟏𝐝µ - k ∫ 𝐈(𝐫, 𝟏 –𝟏 µ)µ𝐤−𝟏𝐝µ …. (21) Işınım yoğunluğunun momentleri, n=0, n=1 ve n=2 durumu için gelen ışınımın, ışınım akısının ve ışınım basıncının olağan tanımını azaltan genelleştirilmiş bir gelen ışınımı temsil eder. Işınım yoğunluğunun elde edilen daha yüksek momentleri daha genel Eddington yaklaşımı kullanılarak gelen ışınım, net ışınım akısı ve ışınım basıncı cinsinden ifade edilir. 16 Açısal türev terimini elde etmek için, yön üzerindeki integraller, ayrık formla değiştirilir, ∫ 𝐃(𝐫, 𝛍)𝐝𝛍 ≅ ∑ 𝛚𝐦 𝐃(𝐫, 𝛍)𝐌 𝐦=𝟏 𝟏 −𝟏 … (22) Burada dörtde bir ağırlıklar 𝛚𝐦 (quadrature weights) yönlerle ilişkilidir. Böylece denklemi şu şekilde yazabiliriz; ∑ 𝛚𝐦𝐃𝐦𝛍𝐦 𝐤 = 𝐤 ∑ 𝛚𝐦𝐈𝐦𝛍𝐦 𝐤+𝟏𝐌 𝐦=𝟏 − 𝐤 ∑ 𝛚𝐦𝐈𝐦𝛍𝐦 𝐤−𝟏𝐌 𝐦=𝟏 𝐌 𝐦=𝟏 … (23) Şimdi, açısal türev terimleri D(R) k=1, M-1 için yazılan Denklem (2)'den elde edilir. ∑ 𝛚𝐦𝐃𝐦 𝑴 𝒎=𝟏 = 𝟎 … (24) Böylece bilinmeyenler 𝐷𝑚 doğrusal bir cebirsel sistemin çözümüdür A d = b; A=[ 𝟏 𝟏 ⋯ 𝟏 µ𝟏 𝟏 µ𝟐 𝟏 … µ𝑴 𝟏 µ𝟏 𝑴−𝟏 µ𝟐 𝑴−𝟏 … µ𝑴 𝑴−𝟏 ] … (25a) d= [ 𝒘𝟏𝑫𝟏 𝒘𝟐𝑫𝟐 . . 𝒘𝑴𝑫𝑴] … (25b) 17 b= [ 𝟎 . . . (𝑴 − 𝟏)∑ 𝒘𝒎 𝑴 𝒎=𝟏 𝑰𝒎 µ𝒎 𝑴 − (𝑴 − 𝟏)∑ 𝒘𝒎 𝑴 𝒎=𝟏 𝑰𝒎 µ𝒎 𝑴−𝟐] (25c) açısal türev terimi 𝐃𝐦 bu şekilde yazabiliriz; Dm = 𝟏 𝒘𝒎 ∑ µ𝒎 −𝒌 𝑩𝒌 𝑴 𝒌=𝟏 … (26) Bk = k ∑ 𝒘𝒎` 𝑴 𝒎=𝟏 𝑫𝒎` µ𝒎 𝒌+𝟏 – k ∑ 𝒘𝒎` 𝑴 𝒎=𝟏 𝑫𝒎` µ𝒎 𝒌−𝟏 …(27) Her seçenekte, radyasyonun içeriye doğru yayılımlı kalması için her birinin değeri k,m olmalıdır; 1≤m≤M, 1≤k≤M-1 Sonlu sayıda ayrık koordinat için Denklem 1'in yeni ayrık koordinat gösterimi yazılabilir 𝝁𝒎 𝐫𝟐 𝐝 𝐝𝐫 [ 𝐫𝟐𝐈𝐦] + 𝟏 𝐫 𝟏 𝐰𝐦 ∑ (µ𝒎 −𝒌) 𝐦 𝐁𝐤 𝐌 𝐤=𝟏 + 𝛃𝐈𝐦 𝔁𝐈𝐛[𝐓(𝐫)] + 𝛔 𝟐 ∑ 𝐰𝐦𝐈𝐦 𝐌 𝐦=𝟏 ; m=1,M …. (28) Denklemin sınır koşulu (17) ; Im(R1) = ε1Ib,1 + 2 (1-ε1) ∑ 𝒘𝒎 𝑴 𝟏 𝑰𝒎|µ|𝒎 ; µ > 0 … (29a) Im(R2) = ε2Ib,2 + 2 (1-ε2)∑ 𝒘𝒎 𝑴 𝟏 𝑰𝒎 µ𝒎 ; µ < 0 … (29b) 18 3. Radyasyon ısı akışı Yönlü yoğunluklar bilindikten sonra Im, ortamdaki ışınımsal q(r) ısı akısı ve gelen ışınım enerjisi G(r) aşağıdaki tanımlarından belirlenir; qr(r) = 2π ∫ 𝑰(𝒓, 𝟏 −𝟏 µ) µ dµ = 2π ∑ µ𝒎𝒘𝒎𝑰𝒎 𝑴 𝒎=𝟏 … (30) Boyutlu küresel bir ortamda radyasyon problemi için eksiksiz matematiksel formülasyon sağlar. Sayısal teknik, yani sonlu farklarla sınır değer problem çözmek kullanılmıştır, yeni Teknik (DOM) teknoloji n=8 boyutlu olarak isim İsimlendirilmiştir. Ağırlıklar ve kareleme noktaları, karşılık gelen Gauss karelemeleridir. 19 4. RTE'nin sayısal özellikleri Tablo 1'de, saf ışıma geçişine tabi dağınık yayan ve yansıtan sınırları olan iki eşmerkezli küre arasındaki bir radyasyon problemi için 𝒓𝟐𝒒(𝒓) nin sayısal değerlerini veriyoruz. Yeni teknikten elde ettiğimiz sonuçları başka yöntemlerle Karşılaştırdık. 𝒓𝟏 ∗ = 0.5, 𝝉𝟐 = 1, ve sınır emisyon değerlerinin çeşitli kombinasyonları için sonuçlar sunduk 𝜺𝟏, 𝜺𝟐. Ortamdaki net ışınımsal ısı akısı daha az olur. Dış küre sıcaklığının farklı değerleri için 𝜽𝟐. Tablo 2'de, bir radyasyon problemi için 1. dereceden moment, iç küre sıcaklığı 𝜽𝟏 = 𝟏 ve dış küre sıcaklığı 𝜽𝟐 = 𝟎 ve sırasıyla iç ve dış küre 𝝉𝟏 = 𝜷𝑹𝟏, 𝝉𝟐 = 𝜷𝑹𝟐 farklı optik kalınlıkları için sayısal değerleri sunuyoruz. Sonuçlar diğerleri ile karşılaştırılmıştır Optik kalınlıkta bir artış 𝝉𝟐 = 𝜷𝑹𝟐 , ortam daha yoğun hale gelir, ayrıca Şekil 7'de gösterildiği gibi ortamdaki net ışınımsal ısı akışı azalır. Optik kalınlık 𝝉𝟐 = 𝟐, 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟓 ve siyah sınırlar için, R1/R2 oranının ışınımsal ısı akısı üzerindeki etkileri Şekil 8'te gösterilmektedir. R1/R2 oranının artmasıyla ortam düzlemsel olma eğilimi gösterir ve ışınımsal ısı akısı sabit hale gelir. Şekil 9, dış küre sıcaklığının ışınımsal ısı akışı dağılımı üzerindeki etkisini göstermektedir. Dış küre ısındığında, net ışınsal ısı akısı işaret değiştirir ve negatif olur. Şekil 10'te, iç ve dış kürenin yayma gücünün ışınımsal ısı akışı dağılımı üzerindeki etkisini inceliyoruz. Bu çalışma için 𝝉𝟐 = 𝟏, 𝜽𝟐 = 𝟎. 𝟓 ve R1/R2 = 0.5. İç küre daha fazla yansıttığında, net ışınımsal ısı akısının daha az olduğu gözlenir 20 Tablo (1) Çeşitli 𝜀1, 𝜀2 kombinasyonları için rq(r) değerleri (𝑟1 ∗ = 0.5, 𝛩2 = 0.5, 𝜏2 = 1) 𝜺𝟏 𝜺𝟐 𝜽𝟐 Boyutsuz Radyasyon [Kim v.d, 2008] Boyutsuz Radyasyon [Zhao, v.d, 2007] Boyutsuz Radyasyon [Zhang, v.d, 2012] Bu tez 1 1 0.5 0.21733 0.21733 0.21038 0.2122 0.5 1 0.5 0.11312 0.11312 0.1108 0.1124 1 0.5 0.5 0.17281 0.172881 0.1718 0.1712 0.5 0.5 0.5 0.09977 0.09977 0.0991 0.09986 1 1 2 -3.47938 -3.47938 -3.36557 -3.3656 0.5 1 2 -1.7998 -1.7998 -1.77357 -1.7661 1 0.5 2 -2.816 -2.816 -2.7488 -2.7828 0.5 0.5 2 -1.6158 -1.6158 -1.58604 -1.5835 21 Tablo (2) İç yüzeydeki net ışınımsal ısı akısı izotropik olay ve 𝜔=1 𝝉𝟏 𝝉𝟐 REF [Kim v.d, 2008] REF [Zhao, v.d, 2007] REF [Zhang, v.d, 2012] Bu tez 0.5 1 0.11221 0.1122 0.1122 0.11214 0.9 1 0.38305 0.3831 0.38308 0.39111 0.95 1 04365 0.4366 04366 0.4568 1 10 ----------- -- ----------- -- 0.00343 0.00338 5 10 ----------- -- ----------- -- 0.04793 0.4797 9 10 ----------- -- ----------- -- 0.24606 0.2635 22 Tablo(3) τ2 optik kalınlığının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 𝒓 − 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 𝝉 = 𝟏𝟎 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟓 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟐 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 0 0.36 0.55 0.75 0.1 0.30 0.46 0.66 0.2 0.27 0.40 0.54 0.3 0.24 0.36 0.48 0.4 0.20 0.31 0.40 0.5 0.18 0.28 0.37 0.6 0.16 0.24 0.33 0.7 0.14 0.21 0.30 0.8 0.12 0.19 0.26 0.9 0.11 0.17 0.23 1 0.10 0.15 0.20 23 Tablo (4) R1/R2 oranının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve τ2=2,0 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 𝒓 − 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 𝝉 = 𝟏𝟎 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟓 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟐 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 0 0.8800 0.800 0.75 0.1 0.2600 0.450 0.63 0.2 0.1200 0.340 0.54 0.3 0.1000 0.270 0.48 0.4 0.0700 0.200 0.40 0.5 0.0300 0.150 0.35 0.6 0.0180 0.120 0.31 0.7 0.0110 0.100 0.26 0.8 0.0090 0.099 0.22 0.9 0.0088 0.095 0.18 1 0.0080 0.091 0.16 24 Tablo (5) Θ2 sınır sıcaklığının ε1=ε2=1, τ2=2 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışıma akısı üzerindeki etkisi 𝒓 − 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 𝝉 = 𝟏𝟎 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟓 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟐 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 0 -12.0 -3.300 0.85 0.1 -10.2 -2.800 0.75 0.2 -8.70 -2.220 0.65 0.3 -7.50 -2.121 0.55 0.4 -6.70 -1.981 0.45 0.5 -5.75 -1.752 0.35 0.6 -4.90 -1.520 0.27 0.7 -4.30 -1.456 0.20 0.8 -3.90 -1.315 0.16 0.9 -3.30 -1.180 0.09 1 -3.01 -1.018 0.05 25 Tablo(6) θ2=0,5, τ2=1 ve R1/R2=0,5 ile yüzey emisyonunun boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 𝒓 − 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − 𝑹𝟏 𝝉 = 𝟏𝟎 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟓 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 𝝉 = 𝟐 Boyutsuz ısı akışı (𝒒∗) 0 0.780 0.4000 0.452 0.1 0.714 0.3470 0.389 0.2 0.651 0.2900 0.340 0.3 0.588 0.2390 0.301 0.4 0.520 0.2150 0.270 0.5 0.501 0.1800 0.231 0.6 0.470 0.1790 0.199 0.7 0.411 0.1420 0.174 0.8 0.390 0.1260 0.78 0.9 0.354 0.1170 0.146 1 0.34 0.1011 0.132 26 Şekil (7) τ2 optik kalınlığının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 B o yu ts u z ıs ı a kı şı r-R1/R2-R1 𝝉 = 2 𝝉 = 5 𝝉 = 10 27 Şekil (8) R1/R2 oranının ε1=ε2=1, θ2=0,5 ve τ2=2,0 ile boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi. 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 B o yu ts u z ıs ı a kı şı r-R1/R2-R1 R* = 0.9 R* = 0.5 R* =0.25 R* = 0.1 28 Şekil (9) Θ2 sınır sıcaklığının ε1=ε2=1, τ2=2 ve R1/R2=0,5 ile boyutsuz ışıma akısı üzerindeki etkisi -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 B o yu ts u z ıs ı a kı şı r-R1/R2-R1 𝜽 =2 𝜽 =1.5 𝜽 = 0 29 Şekil (10) θ2=0,5, τ2=1 ve R1/R2=0,5 ile yüzey emisyonunun boyutsuz ışınım akısı üzerindeki etkisi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 b o yu ts u z ıs ı a kı şı r-R1/R2-R1 ε1=0.5 , ε2=1 ε1=ε2=0.5 ε1=ε2=0.1 30 5. Sayısal hatalar ve doğruluk geliştirme stratejileri Tüm sayısal yöntemler sayısal hatalardan mustariptir. Monta Carlo (MC) yöntemi istatistik hatalarından muztaripken, Ayrık ordinat method (DOM), sonlu hacim method (FVM), sonlu eleman method (FEM) uzay ve açısal ayrıklaştırma hatalarından mustariptir. Gerçek uygulamalardaki önemli önemi nedeniyle, RTE'yi çözmek için sayısal hatalar birçok araştırmacının ilgisini çekmiştir. 5.1. Ayrık ordinat method (DOM) sayısal hataları "Yanlış saçılma" ve "ışın etkileri", DOM'un sayısal sonuçlarında gözlemlenen sayısal hataların özelliklerini tanımlayan terimlerdir. Kelimenin tam anlamıyla, 'yanlış saçılma', genellikle sayısal yayılmaya eşdeğer olduğu düşünülen saçılma gibi davranan sayısal hatanın etkisi anlamına gelir. 'Işın etkileri', ışınım yoğunluğunun sürekli açısal değişimini yaklaşık olarak tahmin etmek için farklı sayıda yönlerin kullanılmasına atfedilen, sayısal sonuçlarda görünen fiziksel olmayan tümseği ifade eder. Hata fenomeninin kaynağını anlamak için hataların kaynağını analiz etmek gerekir. RTE'nin DOM ayrıklaştırması ve ısı akışı ve olay radyasyonunun hesaplanması dikkatlice kontrol edilerek, üç ana hata kaynağı tanımlanabilir: 1- Fark şemasından hata; uzamsal alanda diferansiyel operatörün ayrıklaştırılması ile ilgili olan 2- Saçılma teriminin ayrıklaştırılmasından kaynaklanan hata; açısal alanda bir integral operatörün ayrıklaştırılmasıyla ilgili olan 3- Isı akısı veya gelen radyasyonun hesaplanmasından kaynaklanan hata; başka bir integral operatörün ayrıklaştırılmasıyla ilgili olan 31 Ortam saçılmasa bile görüneceğinden, üçüncü kaynağın ikinci kaynaktan belirgin şekilde farklı olduğuna dikkat edin. Bu üç hata kaynağının etkisi nedir? Bu üç hata kaynağının 'yanlış saçılma' ve 'ışın etkileri' ile ilişkisi nedir? Bunlar aşağıdaki bölümlerde tartışılacaktır. 5.2. Fark şemasından kaynaklanan hata RTE'nin ayrık ordinat denkleminde diferansiyel operatörü ayrıklaştırmak için bir fark alma şeması gereklidir. X-yönü için şu şekilde ayrıklaştırılabileceğini varsayarsak: 𝝁𝒎 𝝏𝑰𝒎 𝝏𝒙 ≈ 𝝁𝒎 𝑰𝒎(𝒙)− 𝑰𝒎(𝒙−∆𝒙) ∆𝒙 … (31) Taylor açılımını kullanarak, yukarıdaki ayrıklaştırmanın sağ tarafı şu şekilde yazılabilir: 𝝁𝒎 𝑰𝒎(𝒙)− 𝑰𝒎(𝒙−∆𝒙) ∆𝒙 = 𝝁𝒎 𝝏𝑰𝒎 𝝏𝒙 + [ 𝟏 𝟐 𝝁𝒎∆𝒙] 𝝏𝟐𝑰𝒎 𝝏𝒙𝟐 + 𝑶 (∆𝒙𝟐) … (32) Görüldüğü gibi, difüzyon katsayısına sahip ek bir difüzyon terimi (ikinci dereceden terim) belirir. 𝝁∆𝒙/𝟐. Bahsettiğimiz gibi, difüzyon katsayısına sahip ek bir difüzyon terimi (ikinci dereceden terim) belirir. 32 Bu sayısal difüzyon, ısı iletim işlemine benzer şekilde yüksek yoğunluklu bölgeden düşük yoğunluklu bölgeye ek ışınımlı ısı akısı aktarımı yaparak ışınımsal yoğunluk dağılımını yumuşatır. Saçılma işleminden önemli ölçüde farklıdır, örneğin, yalnızca bir yöndeki ışınımsal akıyı bulaştırırken, saçılma işlemi genellikle enerjiyi bir yönden başka bir yöne aktarır. Bu nedenle, bu hatanın sayısal yayılma olarak adlandırılması tercih edilir. Şekil (11) verilerin Coelho tarafından yapılan çalışmadan çıkarıldığı kaba ızgara (15x15) ve ince ızgarada (125x125) adım şemasıyla DOM tarafından çözülmüş ısı akışını gösterir Açısal ayrıklaştırma son derece iyidir, dolayısıyla açısal ayrıklaştırma hatasının etkisi ihmal edilebilir ve yalnızca sayısal difüzyonun etkisi gözlenir. Kaba ızgarada, büyük sayısal yayılma görülür ve ısı akısı değeri her zaman tam değerden daha büyüktür, bu da yukarıda sunulan analizle uyumludur. Şekil (11) Sayısal difüzyon ve ışın etkilerini göstermek için alt duvar boyunca gelen ısı akışı 𝑁𝜃 = 𝑁𝜑 33 5.3. Isı akısı hesaplamasında hata Işın etkileri fenomeni, ısı akısı dağılımının fiziksel olmayan çarpma hata modeli içermesidir; Şekil (12). Esas olarak, ortamın sınır koşullarında, sıcaklık dağılımında veya ışıma özelliklerinde keskin gradyanlar veya süreksizlikler olduğunda DOM'un çözüm doğruluğunu etkiler. Işın etkilerinin esas olarak açısal ayrıklaştırmaya dayandığı gösterilmiştir. Şekil (12) de CLAM şeması tarafından bir sıra (15x15) ve ince (125x125) uzamsal ızgarada çözülen alt duvar boyunca ısı akışı dağılımını gösterir, açısal dörtlü için yaklaşım kullanılır. CLAM şemasının ikinci dereceden doğru ve sınırlı salınımsız bir şema olduğu bilinmektedir. Bununla birlikte, ince ızgara için bile, bu uzamsal ayrıklaştırmanın yeterince doğru olduğu kabul edilir. ısı akısı dağılımında hala güçlü fiziksel olmayan tümsek modelleri var. Şekil (12) Sayısal difüzyon ve ışın etkilerini göstermek için alt duvar boyunca gelen ısı akışı 34 Bu nedenle, tümsek örüntüsündeki sayısal hata, ayrıklaştırma ile ilgisizdir. Ayrıca, ısı akısı dağılımında yer alan bu tür çarpma desenleri, saçılma olmaksızın ortam için hala mevcuttur. Bu nedenle, saçılma terimindeki hataya atfedilemez. Ayrı bir kökeni vardır. Burada, sayısal hatanın çıkıntı paterni, yanlış ısı akışı hesaplamasına atfedilir. Şekil (13) de güçlü ışın etkilerine sahip tipik bir konfigürasyonu göstermektedir. Bu durumda, altta sadece sınırlı bir yük bulunur ve üst duvar boyunca ısı akısı dağılımı hesaplanacaktır. Ortamın saçılmadığı göz önüne alındığında, üst duvardaki gelen ışınım yoğunluğu yüke kadar izlenebilir. O noktası üst duvarın merkezini, A ise merkezden uzakta bulunan bir noktayı belirtir. Mavi ve kırmızı çizgiler O ve A'dan başlar, yoğunlukları tam olarak belirlemek için geriye doğru izlenen ayrık koordinat yönlerini gösterir. Görüldüğü gibi A noktası için yükle kesişen iki yön vardır. O merkez noktasına gelince, sadece bir yön yükle kesişir. Şekil (13) Işın etkilerini gösteren şemalar, sınır sınırlı yük 35 Isı akısını hesaplamak için açısal kareleme kullanılırsa, A noktasındaki ısı akısının O merkez noktasındakinden daha büyük olacağı açıktır. Sınırlandırılmış sınır yükünün yanı sıra, sınırlı hacimsel yük (Şekil 14 de gösterildiği gibi) ışın etkilerini de indükleyecektir. Şekil (14) Işın etkilerini gösteren şemalar. İç (hacimsel) sınırlı yük. Işıma yoğunluğunun küçük bir katı açıyla sınırlandırılmasının tam olarak entegre edilmesi zordur, çünkü entegrasyon yapmak için küçük katı açıda yalnızca birkaç ayrık koordinat yönü konumlandırılacaktır. Işın etkileri, açısal ayrıklaştırmayı iyileştirerek hafifletilebilir. Ancak, bu yaklaşım önemli hesaplama çabası gerektirir. Değiştirilmiş ayrık koordinatlar yaklaşımıyla da etkili bir şekilde hafifletilebilir. Farklı bir transfer denklemini çözerek sınır yükünden ve hacimsel /yükten ısı akışına katkıları ayrı ayrı ele alarak etkili bir şekilde hafifletilebilir. Son zamanlarda, FVM ve DOM'daki ışın etkilerini azaltmak için birkaç yeni yaklaşım önerildi. DOM'da ışın etkilerini azaltmanın daha etkili yolu hala önemli bir araştırma konusudur. 36 6. Sonuç İçi boş küresel ortamdaki tek boyutlu soğurma, yayma ve saçılmadaki bir radyasyon probleminin analizi incelenmiştir. Bu geometride ortaya çıkan açısal türev terimi yeni bir yaklaşım kullanılarak yaklaşık olarak hesaplanmıştır. Bu yol, açısal türev terimi için doğru bir ifadeye yol açmıştır. Diferansiyel denklemler seti, sonlu farklar algoritması ile sınır değer problemi kullanılarak çözülmüştür. Yeni tekniğin doğruluğu, kıyaslamalı yaklaşık çözümlerle karşılaştırılarak doğrulanmıştır. Buna ek olarak, kürsel koordinat sistemi ışınımsal geçiş denklemi ve ışınımsal aktarım denkleminin çeşitli varyantları, ışınımsal aktarım denklemlerinin farklı çözüm teknikleri ve ışınımsal aktarım denkleminin çözümündeki sayısal hatalar ve ilgili iyileştirme stratejileri Sunulmuş ve tartışılmıştır. RTE'nin sayısal çözümü için üç ana hata kaynağı tanımlanabilir, Bunlar: (1) Bir diferansiyel operatörün ayrıklaştırılmasıyla ilgili olan fark alma şemasından kaynaklanan hata; (2) bir açısal integral operatörünün ayrıklaştırılmasıyla ilgili olan saçılma teriminin ayrıklaştırılmasından kaynaklanan hata; (3) başka bir açısal integral operatörün ayrıklaştırılmasıyla ilgili olan ısı akısı veya gelen radyasyonun hesaplanmasından kaynaklanan hata. İlki, ışınımsal enerjinin aynı yöne yayıldığı sayısal yayılmayı tetikleyecektir. İkincisi, fiziksel olmayan bir şekilde değiştirilmiş faz fonksiyonunu tetikleyecektir, dolayısıyla gerçek 'yanlış saçılma'dır. Üçüncüsü, açısal karelemenin yanlışlığına atfedilen, 'ışın etkileri' olarak da bilinen, akı dağılımında fiziksel olmayan çarpma hata modeline neden olacaktır. Ancak bu, ortam saçılmasa bile görüneceğinden, ikinci kaynaktan belirgin şekilde farklıdır. Gerçek problemlerde Yukarıda belirtilen hataların yanı sıra, ışınımsal transfer problemlerinin gerçek çözüm doğruluğunun, çözümü için dikkat edilmesi gereken absorpsiyon katsayısı, saçılma katsayısı ve saçılma fazı fonksiyonu gibi ölçülen malzeme özelliklerinin doğruluğuna da yakından bağlı olduğu belirtilmelidir. 37 7. Kaynaklar Abulwafa E. M.(1993). Radiative-transfer in a linearly-anisotropic spherical medium, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 49, 165-75. Aouled-Dlala N., Tigur S., Seddiki E. (2007) Numerical solution of radiative and conductive heat transfer in concentric spherical and cylindrical medium. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 107, 443-457. Hsin-sen C. H., Weng L.C. (1991) Combined conduction and radiation in absorbing, emitting and isotropically-scattering concentric spherical media. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 46, 251-257. Jia G. Yener Y., Jr Cipolla J. W. (1991) Radiation between two concentric spheres separated by participating medium. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 46(1), 11-9. Kim, M.Y., Cho, J.H.,Baek, S.W. (2008) Radiative heat transfer between two concentric spheres separated by a two phase mixture of non gray particules using the modified discrete ordinates method. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 109, 1607-1621. Li B. W., Sun Y. S., Zhang D-W. (2009). Chebyshev Collocation spectral methods for coupled radiation and conduction in concentric spherical partipating medium, Journal of Heat Transfer, 131(6), 062701. DOI: 10.1115/1.3090617. Mishra S.C., Krishna C. H., Kim M. Y. (2010) Lattice Boltzmann method and modified discrete ordinates method applied to radiative transport in a spherical medium with and without conduction. Numerical Heat Transfer Applications, 58(11),852- 881. Pomining G.C., Siewert C. E. (1982) On the integral form of the equation of transfer for a homogeneous spheres. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 28, 503-6 38 Siewert C. E., Thomas J. R. (1991). On coupled conductive radiative heat-transfer problems in a sphere. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 46 (2), 63-72. Sghaier T., Sifaoui M. S., Soufiani A. (2000) Study of radiation in spherical media using discrete ordinates method associated with the finite Legendre transform. ournal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 64(4), 339-351. Thynell S. T., Ozsik M. N. (1989) Radiation transfer in an isotropically scattering homogeneous solid sphere, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 33,187-196. Trabelsi H. J., Sghaier T., Sifaoui M.S. (2005). A theoretical study of radiation between spheres using a modified discrete ordinates method associated with Legendre transform. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer, 93(4), 415-428. Tsai J. R., Ozisik M. N., Santarelli F. J. (1989), Radiation in spherical symmetry with anisotropic scattering and vanable properties, Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,42;187-199. Viskunta R., Grosbie A. (1976). Radiative transfer between two concentric spheres separated by absorbing an emitting gray medium. Journal of Quantitative Spectroscopy and Radiative Transfer,6, 871-879. Zhao JM, Liu LH (2007a) Second Order Radiative Transfer Equation and Its Properties of Numerical Solution Using Finite Element Method. Numer Heat Transfer B 51;391- 409 Zhang L, Zhao JM, Liu LH, Wang SY (2012) Hybrid finite volume/ finite element method for radiative heat transfer in graded index media. J Quant Spectrosc Radiat Transfer 113 (14):1826-1835